Un curioso espacio vectorial

Dado un cuerpo $(C,+,*)$, para cualquier subcuerpo $K\subset C$ tenemos que $(C,+,\cdot,K)$ con $$\begin{array} \cdot : &K\times C & \rightarrow &C\\&(\lambda,u)&\mapsto & \lambda *u \end{array}$$ forma un espacio vectorial
(la demostración de este echo es prácticamente trivial, no obstante si alguien quiere que la ponga que me lo haga saber).

Dicho esto, vamos a considerar el espacio vectorial que forman los reales sobre los racionales, sabemos, por el teorema de existencia de la base, que este espacio vectorial posee al menos una. Lo primero que podemos decir de dicha base es que no es finita, en efecto, consideremos el conjunto de números reales $A=\{\pi^n :n\in \mathbb{N}\}$, veamos que es linealmente independiente, consideramos una combinación lineal de todos los elementos de un subconjunto abitrario de $A$ igualada a $0$ $$\sum_{i=1}^k \frac{n_i}{m_i}\pi^{r_i}=0$$ multiplicamos por $\prod_{j=1}^km_i$ y obtenemos que $$\sum_{i=1}^k\frac{n_i}{m_i}\prod_{j=1}^km_j \pi^{r_i}=\sum_{i=1}^kn_i\prod_{j\neq i}m_j \pi^{r_i}$$ de donde deducimos que $n_i\prod_{j\neq i}m_j=0$ ya que $\pi$ es un número trascendente. Por tanto este espacio es de dimensión infinita.
Para finalizar destacar que el hallar explícitamente una base de este espacio vectorial es un problema abierto a día de hoy.