Reordenamiento de una sucesión convergente

Veamos primero que entendemos por reordenación:

Definición: Dada una sucesión $\{X_n\}$ en un espacio métrico $(A,d)$ llamamos reordenación de  $\{X_n\}$ a cualquier biyección $\phi:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$.  Denotamos la sucesión reordenada por $\{X_{\phi(n)}\}$

Intuitivamente parece que reordenar una sucesión convergente podría hacer variar el límite, o incluso que la nueva sucesión no tuviese límite, vamos a ver que esto no ocurre:

Proposición:  Dada una sucesión $\{X_n\}$ en un espacio métrico $(A,d)$ convergente con límite $x$ y una reordenación $\phi$, la sucesión $\{X_{\phi(n)}\}$ converge también a $l$

Demostración: Sea $\varepsilon >0$, sabemos que, como $\{X_n\}$ converge a $x$, existe $n_0\in\mathbb{N}$ tal que $\forall n\geq n_0$ se tiene $d(x_n,x)<\varepsilon$, por lo tanto el número de elementos que no verifican esto es finito (a lo sumo $n_0$), así que elegimos $m_0\in\mathbb{N}$ de manera que $x_{\phi(m)}\not= x_n$ $\forall m\ge m_0$ $\forall n\le n_0$  por tanto $d(x_{\phi(m)},x)<\varepsilon$ $\forall m\ge m_0$ de donde deducimos que $\{X_{\phi(m)}\}$ converge a $x$