¿La unión de dos conjuntos conexos es conexo?(en $\mathbb{R}^n$)

Obviamente, en general, la respuesta es no, basta observar el siguiente ejemplo:

Ejemplo: Dados $x_1,x_2\in \mathbb{R}^n$ si llamamos $r=\frac{d(x_1, x_2)}{2}$ las bolas $B(x_1,r)$ y $B(x_2,r)$ son conjuntos conexos, sin embargo su unión no lo es ya que ellas mismas forman una separación.

Lo que buscamos es una condición necesaria y suficiente para asegurar que esto ocurra. Parece lógico pensar que una condición suficiente es que la intersección sea distinta del vacio, y es así, sin embargo encontramos conjuntos conexos cuya intersección es el vacio, pero que verifican la premisa, como en el ejemplo siguiente:

Ejemplo: En $\mathbb{R}$ los conjuntos $(0,1)$ y $[1,2)$ son conexos ya que son intervalos, su intersección es vacia y su unión es $(0,2)$ que también es un intevalo y por tanto conexo.

Esto indica que la condición antes mencionada no es necesaria, vamos a probar que una condición necesaria y suficiente es la siguiente:

Proposición: Sean $A,B\subset \mathbb{R}^n$ conexos,  $A\bigcup B$ es conexo si, y solo si, $\overline{A}\bigcap B\neq \varnothing$ o $A\bigcap \overline{B} \neq \varnothing$

Demostración: Vamos a comenzar con la implicación de izquierda a derecha, procedemos por reducción al absurdo. Supongamos, por ejemplo y sin pérdida de generalidad, que $\overline{A}\bigcap B\neq \varnothing$ y que existe una separación de $A\bigcup B$, es decir, existen abiertos $U,V\in \mathbb{R}^n$ tales que:

1. $(A\bigcup B)\subset U\bigcup V$
2. $(A\bigcup B)\bigcap U\bigcap V=\varnothing$
3. $(A\bigcup B)\bigcap U\neq \varnothing$ 
4. $(A\bigcup B)\bigcap V\neq \varnothing$

Ya que tanto $A$ como $B$ son conexos, tendrán que estar contenidos en $U$ o $V$ respectivamente (de lo contrario $(U,V)$ sería una separación de $A$ o $B$), podemos suponer que $A\subset U$ y que $B\subset V$. Elegimos $x_0\in \overline{A}\bigcap B$ y vamos a ver que $x_0$ no puede pertenecer a $U$ ni a $V$:

• Si $x_0\in U$ tenemos que, como $x_0\in B\subset V$, $x_0\in U\bigcap B\bigcap V\subset U\bigcap(B\bigcup A)\bigcap V$, pero esta intersección debería ser vacia.
• Si $x_0\in V$ entonces $x_0\notin A$, por tanto $x_0$ está en la frontera de $A$ y por definición $\forall r>0:$ $ B(x_0,r)\bigcap A\neq \varnothing ,\{x_0\}$ y además por ser $V$ abierto sabemos que $\exists r_0>0$ tal que $B(x_0, r_0)\subset V$, así que, por lo anterior, $A\bigcap V\neq \varnothing \Rightarrow (A\bigcup B)\bigcap U\bigcap V\neq \varnothing$

Hemos llegado a la contradicción que buscábamos. 

Finalizamos con la implicación directa, vamos a demostrarlo por contraposición. Suponemos que $\overline{A}\bigcap B=\varnothing$ y que $A\bigcap \overline{B}=\varnothing$, dado un punto $a\in A$ sabemos que existe $r_a>0$ tal que $B(a,r_a)\bigcap B=\varnothing$ (de lo contrario $a\in \overline{B}$ y $A\bigcap \overline{B}\neq \varnothing$), y de la misma forma para cada $b\in B$ existe $r_b>0$ tal que $B(b,r_b)\bigcap A=\varnothing$. Ahora vamos a comprobar que el par $(U,V)$ con $U=\bigcup_{a\in A}B(a,r_A)$ y $V=\bigcup_{b\in B}B(b,r_b)$ es una separación de $A\bigcup B$: 

1. $A\subset U$ y $V\subset V$ por tanto $A\bigcup B \subset U\bigcup V$
2. $A\bigcap V=\varnothing$ (y $B\bigcap U=\varnothing$) así que $(A\bigcup B)\bigcap U\bigcap V=\varnothing$
3. $A\subset U\Rightarrow (A\bigcup B)\bigcap U=A\neq \varnothing$
4. $B\subset V\Rightarrow (A\bigcup B)\bigcap V=B\neq \varnothing$

 En un futuro posteare una generalización de este hecho en un espacio topológico arbitrario.