Cardinalidad de $\mathbb{R}^n$

¿Qué cantidad de elementos hay $\mathbb{R}^n$ en relación con $\mathbb{R}$?, como todos sabemos la respuesta es que hay exactamente la misma cantidad de elementos, es decir, estos dos conjuntos tienen la misma cardinalidad para cualquier $n\in \mathbb{N}$.
 Este es un echo que, al menos en mi corta experiencia en la universidad, se suele dar por echo, sin definir explícitamente una biyección entre ambos conjuntos. Y ese precisamente es el propósito de este post, la estrategia que vamos a seguir, para simplificar, es la siguiente: vamos a buscar tres biyecciones, $$\mathbb{R}\leftrightarrow  (0,1) \leftrightarrow  (0,1)\times (0,1)\leftrightarrow \mathbb{R}^2$$
para la primera tomamos la función $$f(x)=\frac{2x-1}{x(1-x)}\text{ }\forall x\in (0,1)$$ derivamos y obtenemos, $$f'(x)=\frac{3x^2-2x+1}{x^2(1-x)^2}\Rightarrow f'(x)>0\text{ }\forall x\in \mathbb{R}$$
como también es continua en $(0,1)$ deducimos que es inyectiva en dicho intervalo, y además,
$$\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=-\infty \text{ y }\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=\infty$$ por tanto es una biyección $ (0,1) \leftrightarrow \mathbb{R}$
Una vez obtenida esta, vemos que para $ (0,1) \times  (0,1) \leftrightarrow \mathbb{R}^2$ basta considerar $g(x,y)=(f(x),f(y))$, en efecto, ya que, $$g(x,y)=g(x',y')\Leftrightarrow (f(x),f(y))=(f(x'),f(y))\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow f(x)=f(x')\text{ y }f(y)=f(y')\Leftrightarrow x=x'\text{ y }y=y'$$ así que g es inyectiva, veamos ahora que es sobreyectiva, $$(a,b)\in  (0,1) \times  (0,1) \Leftrightarrow a\in  (0,1) \text{ y }b\in  (0,1) \Leftrightarrow \exists x,y\in (0,1) :f(x)=a\text{ y }f(y)=b\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow g(x,y)=(f(x),f(y))=(a,b)$$
Ahora queda el paso clave en esta demostración, vamos a ver cada número del intervalo $ (0,1) $ de la forma $0,x_1x_2x_3\cdots$ como la sucesión $(x_n)$ de sus decimales, la aplicación que vamos a considerar es la que a cada número con sucesión correspondiente $(x_n)$ le asigne el par de números cuyas sucesiones correspondientes son $(x_{2n-1},x_{2n})$. Y efectivamente esto es una biyección, ya que,$$h(x)=h(x')\Leftrightarrow (x_{2n-1},x_{2n})=(x'_{2n-1},x'_{2n})\Leftrightarrow x_n=x'_n$$ así que es inyectiva, y además, $$(a,b)\in [0,1]\times [0,1]\Leftrightarrow a\in [0,1]\text{ y }b\in [0,1]$$ hacemos corresponder a $a$ y $b$ sus sucesiones $(y_n)$ e $(z_n)$ y vemos que la sucesión correspondiente a $(a,b)$ es $(y_n,z_n)$, así que basta elegir una sucesión $(x_n)$ con $(x_{2n-1})=(y_n)$ y $(x_{2n})=(z_n)$ para que $h(x)=(a,b)$
Ya tenemos la aplicación que buscabamos, como sabemos que la composición de aplicaciones biyectivas es biyectiva, consideramos la aplicación $g\circ h\circ f$. Para finalizar, observamos que del mismo modo se puede definir una biyección entre $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$, de esta forma, componiendolas, abremos obtenido una entre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^3$, iterando este proceso podemos obtener una biyección entre $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{R}$ para cualquier $n\in \mathbb{N}$