Teorema de Reordenamiento, de Riemann

Vamos a ver el que posiblemente sea el primer resultado realmente impactante que se le imparte a un estudiante de Matemáticas, comenzamos dando el enunciado:

Teorema: Sean $\alpha,\beta \in \bar{\mathbb{R}}$ con $\alpha \leq \beta$, y $\sum_{k=1}^\infty a_k$ una serie condicionalmente convergente, es decir, es convergente pero tiene algún reordenamiento que no lo  es. Entonces existe un reordenamiento $\varphi$ de la serie tal que los límites inferior y superior de las sucesión de sumas parciales son $\alpha$ y $\beta$ respectivamente.

Hay un caso particular especialmente significativo, cuando hacemos $\alpha =\beta$, según el resultado anterior, dada una serie en las condiciones del teorema, podriamos encontrar un reordenamiento de la serie que convergiese a cualquier número real, o incluso que divergiese a infinito o menos infinito. Vamos a ilustrar este hecho con un ejemplo.

Ejemplo: Vamos a considerar la serie de Taylor de $\ln(x+1)=\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}x^k$, por tanto se da la igualdad $\ln 2=\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots$, se puede comprobar que esta serie verifica las condiciones del teorema anterior, por lo tanto podemos encontrar reordenamientos que converjan a lo que se nos antoje, veamos esto. Consideremos el  siguiente reordenamiento de la serie $(1-\frac{1}{2})-\frac{1}{4}+(\frac{1}{3}-\frac{1}{6})-\frac{1}{8}+(\frac{1}{5}-\frac{1}{10})-\frac{1}{12}+\cdots$, si realizamos las operaciones entre paréntesis obtenemos, $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\cdots=\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{2k}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}=\frac{\ln 2}{2}$