Concepto intuitivo de variable aleatoria

Comenzamos dando la definición formal,

Definición: Sea $(\Omega,\mathcal{F},P)$ un espacio probabilístico, una función $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ se llama variable aleatoria si es medible con respecto a $\mathcal{F}$ y $\mathbb{B}$ ($\sigma$-álgebra de Borel), es decir, si $\forall A\in \mathbb{B}$ se tiene que $X^{-1}(A)\in \mathcal{F}$. Usualmente la denotaremos por $X:(\Omega, \mathcal{F},P)\rightarrow (\mathbb{R},\mathbb{B})$

Vamos a intentar dotar a esta definición de una motivación un tanto más intuitiva, para empezar, ¿que queremos conseguir definiendo este concepto?, queremos asignar a cada elemento del espacio muestral, es decir, a cada resultado del experimento aleatorio, un valor real, con el que será más fácil trabajar, ya que podemos aplicar nuestros conocimientos de análisis de variable real. ¿Qué sentido tiene que la función $X$ tenga que ser medible?, para contestar a esto necesitamos definir previamente otro concepto, el de probabilidad trasladada por una variable aleatoria:

Definición: Dada una variable aleatoria $X:(\Omega, \mathcal{F},P)\rightarrow (\mathbb{R},\mathbb{B})$, definimos la probabilidad trasladada por $X$ como la función $\mu :\mathbb{B}\rightarrow [0,1]$ tal que $\mu(A)=P(X^{-1}(A))$.

Esta función pretende asignar una probabilidad a los subconjuntos pertenecientes a $\mathbb{B}$ , pero no una probabilidad cualquiera. Elegimos un elemento arbitrario $A\in \mathbb{B}$, cada número real de $A$ le a sido asignado a un elemento de $\Omega$, por tanto nos gustaría que la probabilidad trasladada de $A$ fuese la misma que la del subconjunto de $\Omega$ que contiene todas las preimágenes por $X$ de los elementos de $A$, de ahí que $\mu$ se defina como $P(X^{-1})$, pero esto sólo es posible si dicho subconjunto de $\Omega$ además es un elemento de $\mathcal{F}$, pero eso es precisamente lo que nos asegura el hecho de que $X$ sea medible.
Vamos a poner un ejemplo del uso de las variables aleatorias:

Ejemplo: Vamos a realizar un experimento aleatorio que consiste en el lanzamiento de una moneda $n$ veces. Vamos ahora a definir una variable aleatoria $X$, simplemente tenemos que elegir cuales van a ser las imágenes de cada elemento del espacio muestral, de que imágenes sean depende el sentido que tendrá nuestra variable aleatoria. Por ejemplo, si estuviésemos interesados en el número de caras que aparecen en cada lanzamiento, haríamos que a cada elemento del espacio muestral, resultado de lanzar $n$ veces una moneda, le asignase el número de caras. Comprobemos que esto es, realmente, una variable aleatoria. Escogemos un elemento de la imágen, es decir, un número natural $k$ comprendido entre $0$ y $n$, y nos preguntamos si $X^{-1}(\{ k\})\in \mathcal{F}$, en efecto esto ocurre ya que el subconjunto $X_{-1}(\{ k\})$ no es otro que todas las posibles variaciones en las ke salen $k$ caras y $n-k$ cruces.