Polinomio Interpolador de Lagrange

El problema que trata de resolver la interpolación es el de hallar una función $f$ cuando conocemos unos cuantos elementos del dominio y sus respectivas imágenes,
 obviamente esto no es posible sin más datos (a no ser que los elementos del dominio de los que conocemos su imágen sean todos). En particular, la interpolación polinómica, dados $x_0,\cdots ,x_n\in \mathbb{R}$ y sus correspondientes imágenes $y_0, \cdots ,y_n\in \mathbb{R}$, busca un polinomio $P(x)$ de grado menor o igual que $n$ y tal que $P(x_i)=y_i$ $\forall i\in \{0,\cdots ,n\}$.
Para empezar vamos a definir $n+1$ polinomios $Q_i(x)$ que verifiquen $Q_i(x_j)=\delta_{ij}$ con $i,j\in\{0,\cdots ,n\}$, estos polinomios serán de la forma: $$Q_i(x)=\frac{\sum_{k\neq i}(x-x_k)}{\sum_{k\neq i}(x_i-x_k)}\text{ con }i\in \{0,\cdots ,n\}$$ahora vamos a considerar el polinomio, $$P(x)=\sum_{i=0}^ny_iQ_i(x)$$ observamos que, $$P(x_j)=\sum_{i=0}^ny_iQ_i(x_j)=\sum_{i=0}^ny_i\delta_{ij}=y_j$$ así que hemos encontrado lo que andábamos buscando. A este polinomio se le llama Polinomio Interpolador de Lagrange y, como veremos a continuación, es el único polinomio de grado menor o igual que $n$ que verifica que $P(x_i)=y_i$ $\forall i\in \{0,\cdots ,n\}$.
Supongamos que existen dos polinomios $R(x)$ y $S(x)$ con la propiedad anterior, el polinomio $P(x)=R(x)-S(x)$ es de grado menor o igual que $n$, y sabemos que tiene, al menos, $n+1$ raices, ya que $P(x_i)=R(x_i)-S(x_i)=y_i-y_i=0\text{ }\forall i \in \{0,\cdots ,n\}$, y esto no es posible a noser que $P(x)=0$.