Definición de la exponencial

Todos sabemos como se define la exponencial $e^x$ cuando $x$ es un número natural, basta multiplicar $e$ por si mismo $x$ veces, incluso podemos extender esta definición cuando $x\in \mathbb{Z}$, haciendo $e^0=1$ y $e^{-x}=(e^{-1})^x$ cuando $x\in \mathbb{N}$.
No es mucho más complicado ampliar esta definición cuando $x\in \mathbb{Q}$, es decir, $x=\frac{n}{m}$ con $n\in \mathbb{Z}$ y $m\in \mathbb{N}$, entonces definimos $e^x=e^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{e^n}$.
Pero, ¿qué ocurre cuando $x$ es irracional?, en este caso ya no sirve la idea intuitiva de multiplicar un número por sí mismo, la técnica que usamos para ampliar la definición es la de extender la función anteriormente definida en $\mathbb{Q}$ a todo $\mathbb{R}$, de manera que esta siga siendo continua (haremos más incapié en esto en el próximo post). Se puede probar que la función$$e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$coincide con la anterior para todo número racional y además, como es analítica, vemos que es continua en todo $\mathbb{R}$.
El sentido de este post es mostrar una verdadera definición de la exponencial. La definición que hemos dado se suele presentar como el desarrollo en serie de potencias (o desarrollo de Taylor) de la exponencial, cuando, previamente, deberíamos habernos preocupado en definir correctamente dicha función, otorgando a cada número su imágen. Esto no quiere decir que esta definición sea única, se pueden dar otras igualmente válidas, en caso de que cumplan las condiciones que hemos descrito. Os invito a que deis alguna otra definición de $e^x$