El teorema de Banach-Tarski

El teorema dice lo siguiente:

Teorema: Sean $A$ y $B$ dos subconjuntos acotados y con interior no vacio de un espacio Euclideo de, al menos, dimensión 3. Entonces existen particiones $A=\bigcup_{i=1}^kA_i$ y $B=\bigcup_{i=1}^kB_i$ tales que $A_i$ es congruente con $B_i$ para cada $i\in \{1,\cdots ,k\}$

Un caso particular de este teorema es el representado en la imágen, elijamos como conjunto $A$ una esfera, y como conjunto $B$ la unión de la misma esfera trasladada dos veces, el teorema nos indica que podemos hallar particiones de $A$ y $B$ finitas (con los mismos elementos), tales que mediante movimientos de las de $A$ (isometrias) obtenemos $B$.
Un resultado que atenta contra la intuición, pero hay que tener en cuenta varios factores. Podríamos pensar en realizar el experimento, pero esto no es posible, ya que hay un subconjunto formado por un punto, y este concepto en la realidad no tiene sentido. Otra pregunta que nos viene inmediatamente a la cabeza es ¿cómo es posible que se doble el volumen?, los subconjuntos en los que dividimos la esfera son conjuntos no medibles, por tanto nada podemos decir sobre la conservación del volumen, de echo el resultado sería igualmente valido si en vez de dos esferas escogiésemos 3, 7 o cualquier número y además con cualquier radio.