Teorema de la existencia de la base

Este teorema, conocido por todos, dice que todo espacio vectorial posee, al menos, una base. La demostración de este echo es bastante interesante, ya que se basa, casi en su totalidad, en el famoso Lema de Zorn:

Lema: Todo conjunto no vacio, parcialmente ordenado e inductivo tiene elementos maximales.

Vamos ahora con la demostración del teorema.
Sea $E$ un espacio vectorial, consideremos el conjunto $A=\{S\subset E:S\text{ es lin. indep.}\}$, como $\emptyset \in A$ sabemos que $A\neq \emptyset$. En $A$ consideramos la relación $\subset$, se comprueba que esta define un orden parcial en $A$, para aplicar el Lema de Zorn necesitamos probar, además, que es inductivo. Sea $B\subset F$ un subconjunto tal que $\subset$ define un orden total en él, ahora definimos $$S=\bigcup_{C\in B}C$$entonces tenemos que $C\subset S$ $\forall C\in B$, para deducir que $S$ es cota superior de $B$ necesitamos probar que $S\in A$, es decir, que es linealmente independiente. Sea $$\sum_{i=1}^k\alpha_iu_i=0$$una combinación lineal de elementos de $S$. Sabemos que existe un $C_i\in S$ tal que $u_i\in C_i$ para cada $i\in \{1,\cdots ,k\}$, y como $B$ está totalmente ordenado, el subconjunto $\{C_1,\cdots ,C_k\}$ tiene máximo, es decir, existe un $i_0\in \{1,\cdots ,k\}$ tal que $u_1,\cdots ,u_k\in C_{i_0}$, y como $C_{i_0}\in B\subset A$ es linealmente independiente, de donde $\alpha_i=0$ $\forall i\in \{1,\cdots , k\}$.
Ya hemos probado que $A$ verifica las hipótesis del Lema de Zorn, por tanto existe al menos un elemento $B\in F$ maximal, es decir, es el subconjunto de $E$ linealmente independiente más grande posible y probar que esta definición es equivalente a la de base es prácticamente trivial.