Hipótesis de Riemann generalizada

Hace unos días tratamos de explicar en que consistia la Hipótesis de Riemann, ahora vamos a enunciar una generalización de la hipótesis.

En este caso en vez de la función zeta de Riemann, tratamos con las L-funciones de Dirichlet, las funciones del tipo:$$L(s,\chi)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}$$
donde $\chi(n)$ es un caracter de módulo $k$, esto es, una función con dominio $\mathbb{Z}$, tal que $\chi(a\cdot b)=\chi(a)\cdot \chi(b)$ y además es periódica de periodo $k$

Dicho esto escribimos el enunciado:

Todos los ceros no triviales en la franja $0<Re(s)<1$, verifican $Re(s)=\frac{1}{2}$

Esta Hipótesis, a pesar del nombre, fue enunciada por Hardy (07/02/1877-01/12/1947) y Littlewood (09/06/1885-06/09/1977).

En 1837, Dirichlet (13/02/1805-05/05/1859), demostró que la condición necesaria y suficiente para que, en las progresiones artiméticas de la forma $a_n=h+kn$ con $h,k\in \mathbb{N}$, hubiese una cantidad infinita de números primos, era que $mcd(k,h)=1$. Si recordais, dijimos que la veracidad de la Hipótesis de Riemann implicaria obtener una mejor cota para la función contadora de primos, pues bien, en el caso de la Hipótesis generalizada también, sólo que la función cuenta primos en la progresión aritmética antes descrita.

Otra implicación de esta Hipótesis es la siguiente conjetura:

Todo número impar mayor que siete es la suma de tres primos.

Este es el llamado problema ternario, y sigue abierto junto con la Conjetura de Goldbach (problema binario), del que hablaremos otro día.