Todo número par mayor que dos se puede expresar como la suma de dos primos.En realidad el enunciado anterior es la llamada conjetura fuerte de Goldbach, y es una equivalencia de la conjetura original que Goldbach envió en una carta a Euler, quien halló esta equivalencia. El enunciado original fue el siguiente:
Todo número natural mayor que cinco puede expresarse como la suma de tres números primos.Y por último el enunciado de la conjetura débil de Goldbach:
Todo número impar mayor que 7 puede expresarse como suma de 3 primos impares.Veamos que las conjeturas fuerte y débil de Goldbach son equivalentes al enunciado que este envió a Euler.
Sea $n$ un natural par mayor que 5, la conjetura original nos dice que $n=p_1+p_2+p_3$, si tuviesemos que $p_1,p_1,p_3\neq 2$, $n$ sería impar, por lo tanto podemos suponer que $p_3=2$, de donde $n-2=p_1+p_2$ con $n-2\geq 4$.
Supongamos ahora que $n$ es un natural impar mayor que 5, tenemos que $n=p_1+p_2+p_3$, como $n$ es impar, o todos los sumandos son impares, o hay dos pares, es decir, $p_2=p_3=2$. Si todos son impares ya se verifica la conjetura, en caso contrario tenemos que $n=p_1+4$, es decir, $n+2=p_1+6=p_1+3+3$ con $n+2$ impar mayor que 7.
Vamos a probar ahora la otra implicación.
Sea $n$ par mayor que dos, tenemos que $n=p_1+p_2$, por tanto, $n+2=p_1+p_2+2$ con $n+2$ mayor que 5.
Ahora supongamos $n$ impar mayor que 7, sabemos que $n=p_1+p_2+p_3$, con todos los sumandos impares. Vemos que $p_2+p_3>4$, ya que no hay dos primos impares que sumen 4, por tanto $p_2+p_3-2>2$, por la conjetura fuerte de Goldbach existen primos $q_1$ y $q_2$ tales que $p_2+p_3-2=q_1+q_2$, así que $n-2=p_1+p_2+p_3-2=p_1+q_1+q_2$
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