jueves, 20 de septiembre de 2012

Problema número tres


Sea $f$ una función real de variable real derivable en 0, y tal que $f(0)=0$. Demostrar que existe una función $g$ continua en 0 y tal que $f(x)=g(x)x$

2 comentarios:

  1. En primer lugar, despejamos g(x):

    g(x) = f(x)/x

    Si f(x) es contínua y derivable en 0, significa que podemos desarrollarla en serie de Taylor como:

    f(x) ~= f(0) + f '(0)x + O(x^2) = f '(0)x + O(x^2)

    De modo que cuando tomamos el límite cuando x tiende a 0 en g(x), obtenemos:

    lim_{x --> 0} g(x) = f '(0)

    que es finito en virtud de la derivabilidad de f(x). Del propio desarrollo de Taylor también se observa directamente que:

    g(0) = f '(0)

    siendo éstas dos últimas ecuaciones las que demuestran que g(x) es contínua.

    Las únicas propiedades que hemos atribuído a f(x) y g(x) son las que se especifican en el enunciado, de modo que son todo lo generales que pueden ser y el argumento se puede seguir en la dirección inversa.

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