Hallar el siguiente límite$$\lim_{n\rightarrow \infty}a^n(n-\sum_{k=2}^n\zeta(k))\text{ con }a>0$$
Nótese que:$\sum _{k=2}^{\infty} \zeta(k) = \left ( 1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2}+... \right ) + \left ( 1 + \dfrac{1}{2^3} + \dfrac{1}{3^3} + ... \right ) =$$(1+1+...) + \left ( \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + ... \right ) + \left ( \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{3^3} + ... \right )$Que es una serie geométrica. Calculando su suma, sustituyendo en el límite y operando, tenemos que:$L=\lim_{n \to \infty} a^n ( n - (n + \sum _{k=2} ^\infty \dfrac{1}{k-1}) =$$\lim_{n \to \infty} - \left ( a^n \sum _{k=1} ^\infty \dfrac{1}{k}) \right ) = -\infty$Puesto que la sumatoria diverge (es la serie armónica).No sé si será ésta la solución o he cometido algún fallo por el camino, ya me contaréis.Por cierto, perdón por la cantidad de mensajes borrados, he tenido problemas mostrando correctamente el código LaTeX.
Creo que has leído mal el enunciado, la suma que está dentro del límite es finita, no es una serie.
Sí, me parece que me he equivocado. Veamos ahora:$\sum _{k=2}^{n} \zeta(k) = \left ( 1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2}+... \right ) + \left ( 1 + \dfrac{1}{2^3} + \dfrac{1}{3^3} + ... \right ) + ... + \left ( 1 + \dfrac{1}{2^n} + \dfrac{1}{3^n} + ... \right )$Reordenando tenemos que:$\sum _{k=2}^{n} \zeta(k) = \left ( 1 + 1 + 1 + ... + 1 \right ) + \left ( \dfrac{1}{2^2}+ \dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{2^n} \right ) + ... =$$=n-1 + \dfrac{1-1/2^n}{2^2-2}+\dfrac{1-1/3^n}{3^2-3}+...=$$= n - 1 + \sum _{k=2} ^n \dfrac{1-1/k^n}{k^2-k}$Insertando esta expresión en el límite tendiendo n a infinito, se puede comprobar fácilmente que el límite es igual a 0.Creo que ahora no me he equivocado, sino que alguien me corrija.
En la última igualdad la suma que aparece en el segundo miembro debería ser una serie.
Si queréis introducir fórmulas, basta escribir el código LaTeX entre dos símbolos del dolar
Nótese que:
ResponderEliminar$\sum _{k=2}^{\infty} \zeta(k) = \left ( 1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2}+... \right ) + \left ( 1 + \dfrac{1}{2^3} + \dfrac{1}{3^3} + ... \right ) =$
$(1+1+...) + \left ( \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + ... \right ) + \left ( \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{3^3} + ... \right )$
Que es una serie geométrica. Calculando su suma, sustituyendo en el límite y operando, tenemos que:
$L=\lim_{n \to \infty} a^n ( n - (n + \sum _{k=2} ^\infty \dfrac{1}{k-1}) =$
$\lim_{n \to \infty} - \left ( a^n \sum _{k=1} ^\infty \dfrac{1}{k}) \right ) = -\infty$
Puesto que la sumatoria diverge (es la serie armónica).
No sé si será ésta la solución o he cometido algún fallo por el camino, ya me contaréis.
Por cierto, perdón por la cantidad de mensajes borrados, he tenido problemas mostrando correctamente el código LaTeX.
Creo que has leído mal el enunciado, la suma que está dentro del límite es finita, no es una serie.
ResponderEliminarSí, me parece que me he equivocado. Veamos ahora:
ResponderEliminar$\sum _{k=2}^{n} \zeta(k) = \left ( 1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2}+... \right ) + \left ( 1 + \dfrac{1}{2^3} + \dfrac{1}{3^3} + ... \right ) + ... + \left ( 1 + \dfrac{1}{2^n} + \dfrac{1}{3^n} + ... \right )$
Reordenando tenemos que:
$\sum _{k=2}^{n} \zeta(k) = \left ( 1 + 1 + 1 + ... + 1 \right ) + \left ( \dfrac{1}{2^2}+ \dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{2^n} \right ) + ... =$
$=n-1 + \dfrac{1-1/2^n}{2^2-2}+\dfrac{1-1/3^n}{3^2-3}+...=$
$= n - 1 + \sum _{k=2} ^n \dfrac{1-1/k^n}{k^2-k}$
Insertando esta expresión en el límite tendiendo n a infinito, se puede comprobar fácilmente que el límite es igual a 0.
Creo que ahora no me he equivocado, sino que alguien me corrija.
En la última igualdad la suma que aparece en el segundo miembro debería ser una serie.
Eliminar