Veamos que efectivamente la matriz con elemento genérico $(i,j)$ el número $(-1)^{i+j}\binom{i-1}{j-1}$ si $j\leq i$ y $0$ en caso contrario, es la inversa de la matriz del enunciado.
Vamos a calcular el elemento genérico $(i,j)$ de la matriz producto, en caso de que $i\geq j$, esto es,$$\sum_{k=1}^n(-1)^{k+j}\binom{k-1}{j-1}\binom{i-1}{k-1}$$
o lo que es lo mismo, $$\sum_{k=1}^n(-1)^{k+j}\frac{(k-1)!(i-1)!}{(j-1)!(k-j)!(i-k)!(k-1)!}=$$ $$=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+j}\frac{(i-1)!}{(j-1)!(i-j)!}\frac{(i-j)!}{(k-j)!(i-k)!}=$$ $$=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+j}\binom{i-1}{j-1}\binom{i-j}{i-k}=\binom{i-1}{j-1}\sum_{k=1}^n(-1)^{k+j}\binom{i-j}{k-j}$$si nos damos cuenta, para $k<j$ o $k>i$ el sumando es $0$, por tanto basta empezar en $k=j$, además vamos a introducir el cambio de variable $l=k-j$, y queda,$$\binom{i-1}{j-1}\sum_{l=0}^{i-j}(-1)^{l+2j}\binom{i-j}{l}$$y como $2j$ es un número par obtenemos finalmente que, usando el teorema del binomio de Newton,$$\binom{i-1}{j-1}\sum_{l=0}^{i-j}1^{i-j-1}(-1)^l\binom{i-j}{l}=\binom{i-1}{j-1}(1-1)^{i-j}$$de donde deducimos que si $i=j$ el elemento $(i,j)$ del producto es 1, si $i>j$ es $0$ y si $i<j$ también es $0$ ya que ambas matrices son triangulares superiores.
Vamos a calcular el elemento genérico $(i,j)$ de la matriz producto, en caso de que $i\geq j$, esto es,$$\sum_{k=1}^n(-1)^{k+j}\binom{k-1}{j-1}\binom{i-1}{k-1}$$
o lo que es lo mismo, $$\sum_{k=1}^n(-1)^{k+j}\frac{(k-1)!(i-1)!}{(j-1)!(k-j)!(i-k)!(k-1)!}=$$ $$=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+j}\frac{(i-1)!}{(j-1)!(i-j)!}\frac{(i-j)!}{(k-j)!(i-k)!}=$$ $$=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+j}\binom{i-1}{j-1}\binom{i-j}{i-k}=\binom{i-1}{j-1}\sum_{k=1}^n(-1)^{k+j}\binom{i-j}{k-j}$$si nos damos cuenta, para $k<j$ o $k>i$ el sumando es $0$, por tanto basta empezar en $k=j$, además vamos a introducir el cambio de variable $l=k-j$, y queda,$$\binom{i-1}{j-1}\sum_{l=0}^{i-j}(-1)^{l+2j}\binom{i-j}{l}$$y como $2j$ es un número par obtenemos finalmente que, usando el teorema del binomio de Newton,$$\binom{i-1}{j-1}\sum_{l=0}^{i-j}1^{i-j-1}(-1)^l\binom{i-j}{l}=\binom{i-1}{j-1}(1-1)^{i-j}$$de donde deducimos que si $i=j$ el elemento $(i,j)$ del producto es 1, si $i>j$ es $0$ y si $i<j$ también es $0$ ya que ambas matrices son triangulares superiores.
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