Solución al problema número dos

Comenzamos estudiando el sumatorio $\sum_{k=2}^n\zeta(k)$ $$\sum_{k=2}^n\zeta(k)=\sum_{k=2}^n\lim_{l\rightarrow \infty}\sum_{m=1}^l\frac{1}{m^k}=\sum_{m=1}^\infty \sum_{k=2}^n\frac{1}{m^k}$$ya que cada uno de los límites existen tenemos que la suma de los límites es el límite de la suma, además, una vez echo esto, podemos invertir el orden de los sumatorios. Ahora el segundo sumatorio, si $m\neq 1$, es una serie geométrica de la que sabemos hallar su suma,
$$\sum_{k=2}^n1+\sum_{m=2}^\infty\sum_{k=2}^n\frac{1}{m^k}=n-1+\sum_{m=2}^\infty(\frac{m^{-n}}{1-m}+\frac{1}{m(m-1)})$$separando la segunda fracción obtenemos que,$$n-1+\sum_{m=2}^\infty\frac{m^{-n}}{1-m}+\sum_{m=2}^\infty \frac{1}{m-1}-\sum_{m=2}^\infty\frac{1}{m}\text{     (1)}$$y como,$$\sum_{m=2}^\infty\frac{1}{m-1}=\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{m}$$deducimos que (1) es igual a,$$n+\sum_{m=2}^\infty\frac{m^{-n}}{1-m}$$sustiyutendo en el límite obtenemos que,$$\lim_{n\rightarrow \infty}a^n\sum_{m=2}^\infty\frac{1}{m^n(m-1)}$$o lo que es lo mismo,$$\lim_{n\rightarrow \infty}e^{\ln(a^n\sum_{m=2}^\infty\frac{1}{m^n(m-1)})}=e^{\lim_{n\rightarrow \infty}\ln(a^n\sum_{m=2}^\infty\frac{1}{m^n(m-1)})}$$calculamos el límite del exponente usando las propiedades de los logaritmos,$$\lim_{n\rightarrow \infty}(n\ln(a)+\ln(\sum_{m=2}^\infty\frac{1}{m^n(m-1)}))$$podemos acotar el sumatorio por $\sum_{m=2}^\infty \frac{1}{m^2}$ que sabemos que converge, de donde vemos claramente que si $a>1$ diverge a $\infty$ y que si $a<1$ converge hacia 0.
Si $a=1$ tenemos que,$$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{m=2}^\infty\frac{1}{m^n(m-1)}<\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{m=2}^\infty\frac{1}{m^n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\zeta(n)-1=0$$