Solución al problema número tres

Definimos la función,$$g(x)=\frac{f(x)}{x}\text{ si }x\neq 0$$como hemos definido $g$ en todo $\mathbb{R}$ menos el 0, si queremos que sea continua en dicho punto tendremos que definir$$g(0)=\lim_{x\rightarrow 0}g(x)$$
en caso de que exista tal límite y sea finito. Veamos que efectivamente es así:$$\lim_{x\rightarrow 0}g(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}$$como $f$ es derivable en 0 en particular es continua, así que tanto el númerador como el denominador tienden a 0 y son derivables en ese punto, nos encontramos en las hipótesis del teorema de L'hôpital,$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{1}=f'(0)$$así que bastará hacer $g(0)=f'(0)$

Nota: El enunciado indica únicamente que $f$ es derivable en 0, sin embargo hemos calculado el límite de $f'$ cuando esta tiende a 0, ¿nos hemos inventado algúna hipótesis?