El conjunto de Mandelbrot

Benoit B. Mandelbrot fue el padre de la geometría fractal, y es la persona que da nombre al famoso conjunto. Veamos como se define:

Vamos a comenzar definiendo la sucesión recurrente $z_n(c)$ para cada $c\in \mathbb{C}$,
$$\left\{ \begin{array}{ccc}z_0&=&0\\z_{n+1}&=&z_n^2+c\end{array}\right. $$
decimos que un número complejo $c$ pertenece al conjunto de Mandelbrot si la sucesión asociada a este número $z_n(c)$ está acotada (no es necesario que converja), es decir,
$$M=\{c\in \mathbb{C}|\exists K\geq 0\text{ con }|z_n(c)|<K\text{ }\forall n\in \mathbb{N}\}$$


Si representamos en el plano complejo los números con esta propiedad, se obtiene lo siguiente:

A la vista de su representación gráfica, algunas de las siguientes propiedades resultan bastante chocantes:

      -Conexión: Intuitivamente podriamos decir que, dados dos puntos $a$ y $b$ de $M$,  se puede ir de uno a otro sin pisar fuera del conjunto.

     -Compacidad: En particular es cerrado, es decir, tiene "borde", a pesar de que a primera vista nos podría parecer que en el borde los puntos del conjunto se acercan de manera asintótica a algún otro, en realidad ese otro también pertenece al conjunto.

Para finalizar os dejo la página web de el señor Mandelbrot y un vídeo en el que hacen zoom sobre la representación de este conjunto y se ve como va apareciendo la misma forma a diferentes escalas.

Esta entrada participa en la edición 3.1415926 del  Carnaval de Matemáticas, alojado en el blog Series Divergentes.