Necesitamos realizar algún paso previo para la demostración, vamos a comenzar definiendo una sucesión de funciones y estudiando alguna propiedad interesante de estas:
si $0<x<1$ tenemos que $x^n(1-x)^n<1$, así que,
$$0<f_n(x)<\frac{1}{n!}$$
también observamos que esta función es polinómica desde $n$ hasta $2n$, con unos ciertos coeficientes $c_i$ que no es necesario precisar, tan solo observar que son todos números enteros, por tanto tenemos que,
$$f_n(x)=\frac{1}{n!}\sum_{n}^{2n}c_i$$
una vez tenemos esta expresión, vemos claramente que,
$$f_n^{(k)}(x)=0\text{ si }k<n\text{ o }k>2n$$
y para $n\leq k\leq 2n$ se tiene que,
$$\begin{array}{ccc}f_n^{(n)}(x) & =& \frac{1}{n!}[n!c_n+\text{términos en $x$}]\\
f_n^{(n+1)}(x) & =& \frac{1}{n!}[(n+1)!c_{n+1}+\text{términos en $x$}]\\
\vdots\\
f_n^{(2n)}(x) & = &\frac{1}{n!}[(2n)!c_{2n}+\text{términos en $x$}]
\end{array}$$
de donde vemos, claramente, que $f_n^{(k)}(0)$ es un número entero para cualquier $k\in \mathbb{N}$, además si observamos que
$$f_n(x)=f_n(1-x)\Rightarrow f_n^{(k)}(x)=(-1)^kf_n^{(k)}(1-x)$$
según estas dos observaciones deducimos que $f_n^{(k)}(1)$ es también entero para todo $k\in \mathbb{N}$
Hechas estas observaciones, vamos con la demostración. Probaremos que $\pi^2$ es irracional, de ahí se deduce inmediatamente que $\pi$ lo es, y procederemos por reducción al absurdo.
Supongamos que $\pi^2$ es racional, es decir,
$$\pi^2=\frac{a}{b}$$
sea ahora la función,
$$G(x)=b^n\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}\pi^{2n-2i}f_n^{(2i)}$$
vemos que cada factor verifica,
$$b^n\pi^{2n-2i}=b^n(\pi^2)^{n-k}=b^n(\frac{a}{b})^{n-k}=a^{n-k}b^k$$
así que, usando las observaciones previas, vemos que $G(0)$ y $G(1)$ son enteros.
Ahora derivamos $G$ dos veces, y obtenemos que,
$$G''(x)=b^n\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}\pi^{2n-2i}f_n^{(2i)}$$
Sumamos $(2)+\pi^2 (1)$ y obtenemos,
$$G''(x)+\pi^2G(x)=b^n\pi^{2n+2}f_n(x)=\pi^2a^nf_n(x)$$
Definimos ahora una nueva función $H$ como sigue,
$$H(x)=G'(x)\sin(\pi x)-\pi G(x)\cos(\pi x)$$
y derivando,
$$H'(x)=G'(x)\cos(\pi x)+G''(x)\sin(\pi x)-\pi G'(x)\cos(\pi x)+\pi^2 G(x)\sin(\pi x)=$$
$$=(G''(x)+\pi^2G(x))\sin(\pi x)=\pi^2a^nf_n(x)\sin(\pi x)$$
Usando el teorema fundamental del cálculo infinitesimal, tenemos que,
$$\pi^2 \int_0^1a^nf_n(x)\sin(\pi x)=H(1)-H(0)=\pi (G(1)+G(0))$$
de donde,
$$\pi \int_0^1a^nf_n(x)\sin(\pi x)\in \mathbb{Z}$$
Por otro lado sabiamos que $0<f_n(x)<\frac{1}{n!}$ si $0<x<1$, por tanto,
$$0<\pi a^nf_n(x)\sin(\pi x)<\frac{\pi a^n}{n!}$$
así que,
$$0<\pi \int_0^1a^nf_n(x)\sin(\pi x)<\frac{\pi a^n}{n!}$$
hasta aquí el razonamiento a sido independiente de $n$, es decir, es cierto para cualquier natural $n$, a partir de aquí trabajamos con un $n$ lo suficientemente grande como para que $\frac{\pi a^n}{n!}<1$, de donde,
$$0<\pi \int_0^1a^nf_n(x)\sin(\pi x)<\frac{\pi a^n}{n!}<1$$
ya hemos llegado al absurdo, puesto que la integral era un entero, hemos encontrado un entero mayor que 0 y menor que 1.
f_n^{(n+1)}(x) & =& \frac{1}{n!}[(n+1)!c_{n+1}+\text{términos en $x$}]\\
\vdots\\
f_n^{(2n)}(x) & = &\frac{1}{n!}[(2n)!c_{2n}+\text{términos en $x$}]
\end{array}$$
de donde vemos, claramente, que $f_n^{(k)}(0)$ es un número entero para cualquier $k\in \mathbb{N}$, además si observamos que
$$f_n(x)=f_n(1-x)\Rightarrow f_n^{(k)}(x)=(-1)^kf_n^{(k)}(1-x)$$
según estas dos observaciones deducimos que $f_n^{(k)}(1)$ es también entero para todo $k\in \mathbb{N}$
Hechas estas observaciones, vamos con la demostración. Probaremos que $\pi^2$ es irracional, de ahí se deduce inmediatamente que $\pi$ lo es, y procederemos por reducción al absurdo.
Supongamos que $\pi^2$ es racional, es decir,
$$\pi^2=\frac{a}{b}$$
sea ahora la función,
$$G(x)=b^n\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}\pi^{2n-2i}f_n^{(2i)}$$
vemos que cada factor verifica,
$$b^n\pi^{2n-2i}=b^n(\pi^2)^{n-k}=b^n(\frac{a}{b})^{n-k}=a^{n-k}b^k$$
así que, usando las observaciones previas, vemos que $G(0)$ y $G(1)$ son enteros.
Ahora derivamos $G$ dos veces, y obtenemos que,
$$G''(x)=b^n\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}\pi^{2n-2i}f_n^{(2i)}$$
Sumamos $(2)+\pi^2 (1)$ y obtenemos,
$$G''(x)+\pi^2G(x)=b^n\pi^{2n+2}f_n(x)=\pi^2a^nf_n(x)$$
Definimos ahora una nueva función $H$ como sigue,
$$H(x)=G'(x)\sin(\pi x)-\pi G(x)\cos(\pi x)$$
y derivando,
$$H'(x)=G'(x)\cos(\pi x)+G''(x)\sin(\pi x)-\pi G'(x)\cos(\pi x)+\pi^2 G(x)\sin(\pi x)=$$
$$=(G''(x)+\pi^2G(x))\sin(\pi x)=\pi^2a^nf_n(x)\sin(\pi x)$$
Usando el teorema fundamental del cálculo infinitesimal, tenemos que,
$$\pi^2 \int_0^1a^nf_n(x)\sin(\pi x)=H(1)-H(0)=\pi (G(1)+G(0))$$
de donde,
$$\pi \int_0^1a^nf_n(x)\sin(\pi x)\in \mathbb{Z}$$
Por otro lado sabiamos que $0<f_n(x)<\frac{1}{n!}$ si $0<x<1$, por tanto,
$$0<\pi a^nf_n(x)\sin(\pi x)<\frac{\pi a^n}{n!}$$
así que,
$$0<\pi \int_0^1a^nf_n(x)\sin(\pi x)<\frac{\pi a^n}{n!}$$
hasta aquí el razonamiento a sido independiente de $n$, es decir, es cierto para cualquier natural $n$, a partir de aquí trabajamos con un $n$ lo suficientemente grande como para que $\frac{\pi a^n}{n!}<1$, de donde,
$$0<\pi \int_0^1a^nf_n(x)\sin(\pi x)<\frac{\pi a^n}{n!}<1$$
ya hemos llegado al absurdo, puesto que la integral era un entero, hemos encontrado un entero mayor que 0 y menor que 1.
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