lunes, 15 de octubre de 2012

Problema número seis


Hallar los $x\in \mathbb{R}$ para los que se verifica la siguiente desigualdad:$$\frac{\sin^2(x)-\frac{1}{4}}{\sqrt{3}-(\sin x +\cos x)}>0$$ 

5 comentarios:

  1. La desigualdad es falsa, para x=2 se tiene 0.465592 que es mayor que 0

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    1. Tienes toda la razón, gracias por la observación, ya está corregido el enunciado.

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  2. También es falsa escrita de esa forma, para x=0 se tiene -0.341506 que es menor que 0

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    1. Vuelves a tener razón, no se pueden hacer las cosas con prisa, ahora creo que está todo correcto.

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  3. Es bien claro que $$0 \leq Sin(x)^2 \leq 1$$. Entonces tenemos $$-1/4 \leq sin(x)^2 - 1/4 \leq 3/4$$.
    Si nos fijamos en la expresión del denominador, no es difícil determinar que
    $$-3/2 < sin(x) + cos(x) < 3/2$$
    Y como $$\sqrt 3 > 3/2$$, la diferencia
    $$\sqrt 3 - (cos(x) + sin(x)) > 0$$ para cualquier x.
    Entonces podemos dividir esta segunda expresión sobre la primera sin alterar la desigualdad. Para que se cumpla la desigualdad es claro entonces que nos tendremos que quedar con los valores que resulten positivos de la primera expresión correspondiente al numerador, es decir, aquellos que hagan $$sin(x)^2 - 1/4 > 0$$.
    Haciendo un poco de cálculo yo obtengo 2 intervalos:
    $$Pi/6 < x < 5Pi/6$$ y
    $$7Pi/6 < x < 11Pi/6$$

    Echadle un vistazo a ver qué tal. Saludos.

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