Sea $f(x)$ una función tal que $f(x)+2f(-x)=\sin x$, ¿cual es la imagen de $\frac{\pi}{2}$ por $f$?
La función f(x)=-sin(x) verifica la propiedad, por tanto la imagen de π/2 es -1
Habría que demostrar que se cumple para toda función que cumple la propiedad. Yo lo he hecho así:Por un lado tenemos que:$$f(x) + 2f(-x) = \sin x$$Para $$-x$$, tenemos que:$$f(-x) + 2f(x) = -\sin x$$Sumando ambas ecuaciones, llegamos a que:$$3f(-x) + 3f(x)=0$$$$f(-x) = -f(x)$$Si hacemos ahora $$x=\dfrac{\pi}{2}$$:$$f(\dfrac{\pi}{2}) + 2 f(-\dfrac{\pi}{2})=\sin \dfrac{\pi}{2}$$$$f(\dfrac{\pi}{2})-2f(\dfrac{\pi}{2})=1$$$$f(\dfrac{\pi}{2})=-1$$
Si queréis introducir fórmulas, basta escribir el código LaTeX entre dos símbolos del dolar
La función f(x)=-sin(x) verifica la propiedad, por tanto la imagen de π/2 es -1
ResponderEliminarHabría que demostrar que se cumple para toda función que cumple la propiedad. Yo lo he hecho así:
EliminarPor un lado tenemos que:
$$f(x) + 2f(-x) = \sin x$$
Para $$-x$$, tenemos que:
$$f(-x) + 2f(x) = -\sin x$$
Sumando ambas ecuaciones, llegamos a que:
$$3f(-x) + 3f(x)=0$$
$$f(-x) = -f(x)$$
Si hacemos ahora $$x=\dfrac{\pi}{2}$$:
$$f(\dfrac{\pi}{2}) + 2 f(-\dfrac{\pi}{2})=\sin \dfrac{\pi}{2}$$
$$f(\dfrac{\pi}{2})-2f(\dfrac{\pi}{2})=1$$
$$f(\dfrac{\pi}{2})=-1$$