$$\sin(x+y)\sin(x-y)=(\sin x \cos y+\cos x\sin y)(\sin x \cos y-\cos x\sin y)=$$
$$=\sin^2x\cos^2y-\cos^x\sin^2y=\sin^2x(1-\sin^2y)-\cos^2x\sin^2y=$$
$$=\sin^x-\sin^2y(\sin^x+\cos^2x)=\sin^2x-\sin^2y=(\sin x +\sin y)(\sin x -\sin y)$$
en definitiva,
$$\sin(x+y)\sin(x-y)=(\sin x +\sin y)(\sin x -\sin y)$$
aun sin verificarse $\sin (x+y)=\sin x +\sin y$
Vía @analysisfact
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