La fórmula de Tupper

Jeff Tupper trata de resolver el problema de dibujar en un plano, mediante un ordenador, las soluciones a $f(x,y)=0$, $f(x,y)<0$ o $f(x,y)\leq 0$, para ciertos $(x,y)$ pertenecientes a un rectángulo de $\mathbb{R}^2$.

Si analizamos el problema de forma estrictamente rigurosa nos damos cuenta de que no es posible "pintar" en un plano esos puntos, ya que no tienen dimensión y es un concepto que físicamente no tiene sentido. Esto suponiendo que conozcamos las soluciones de dicha ecuación, que este problema, de por si, puede tornarse irrealizable, con lo que habría que ir probando parejas de números una por una, y, nuevamente, vuelve a ser imposible.

Volviendo al mundo real, nos damos cuenta de que dicho dibujo se va a ver en una pantalla de ordenador, lo que quiere decir que nuestro rectángulo en $\mathbb{R}^2$, pasa a ser un conjunto de puntos finito (el de los píxeles que encierre), donde en cada pixel se encuentran infinitos puntos ya que este es a su vez un rectángulo. Por lo tanto el problema se reduce a decidir que píxeles pintamos y cuales no, Tupper propone pintar un pixel de negro en caso de que en el conjunto de puntos contenidos en el pixel haya alguna solución, rojo en caso de que no se haya conseguido determinar si la hay o no y blanco en caso de que se pueda asegurar que no la hay.

El trabajo de Tupper por supuesto no se reduce a esto, propone algoritmos que, siguiendo estas pautas, resuelven un "gran número" de ecuaciones de la forma antes descrita, se pueden consultar en su trabajo completo aquí aunque para nuestro objetivo nos basta con ser conocedores de su existencia.

Dicho esto, podemos dar entrada a objeto que da nombre a este post, la fórmula de Tupper, dicha fórmula es una ecuación sobre las que trata su trabajo, en concreto es una desigualdad de la siguiente forma:

$$f(x,y)<0$$

con,

$$f(x,y)=\frac{1}{2}-[\mod([\frac{y}{17}]2^{-17[x]-\mod([y],17)},2)]$$

donde por $\mod(a,b)$ entendemos el resto resultante de la división entera de $a$ entre $b$ y $[a]$ significa la parte entera de $a$. Vamos a escribir la fórmula de esta forma, ahora veremos porque,

$$\frac{1}{2}<[\mod([\frac{y}{17}]2^{-17[x]-\mod([y],17)},2)]$$

y vamos a considerar las soluciones contenidas en el rectángulo $[0,106]\times [k,k+17]$ en $\mathbb{R}^2$ donde $k$ es un número natural monstruoso de 544 cifras que también se puede consultar en el enlace antes mencionado. Para dibujarlo necesitamos también un rectángulo de píxeles, que simule ser nuestro rectángulo anterior, elegimos uno de $1696\times 272$ píxeles, que tiene los lados proporcionales al otro. Pues resulta que usando uno de los algoritmos que describe, en concreto el $3.2$ de su trabajo, el resultado obtenido es el siguiente:

¡Se obtiene un dibujo de la propia fórmula!

Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas en su edición 3.14159265 cuyo anfitrión es pimedios-la aventura de las matemáticas.