Consecuencia de la Hipótesis de Riemann

En este post describíamos brevemente en que consiste la Hipótesis de Riemann, en concreto decíamos que esta hipótesis, en caso de ser cierta, tendría una enorme repercusión en Teoría de Números, ya que implicaría una mejora en la cota actual de la función contadora de primos. En realidad, no es solo que la Hipótesis de Riemann implique este resultado, si no que son equivalentes.


Helge von Koch (25\01\1870-11\03\1924) demostró, en 1901 que$$\pi(x)=\text{Li}(x)+o(\sqrt x \ln x)$$ si, y sólo si, la Hipótesis de Riemann es cierta.

Donde $\text{Li}(x)$ es el logaritmo integral de $x$, es decir,$$\text{Li}(x)=\int_x^2\frac{dt}{\ln t}$$y $o(\sqrt x \ln x)$ es una función asintótica a $\sqrt x \ln x$.

Más tarde el matemático Lowell Schoenfeld (01\04\1920-06\02\2002) demostró en 1976 que la Hipótesis de Riemann era equivalente a,$$|\pi (x)-\text{Li}(x)|<\frac{1}{8\pi}\sqrt x \ln x\text{ para todo }x>2658$$lo cual refina un poco el resultado de Koch.