El problema de Monty Hall

Vamos a resolver este famoso problema de probabilidad, recordamos el enunciado:

Problema: En un concurso televisivo el aspirante debe elegir entre tres puertas A, B, o C, tras una de las cuales se encuentra un premio, mientras que las otras dos no ocultan nada. Una vez que el concursante ha elegido, el presentador, quien sabe que se esconde tras cada puerta, abre una de las otras dos y muestra que esta vacía. Finalmente da la opción al concursante de intercambiar las puertas. El objetivo del problema es hallar la probabilidad de que el concursante obtenga el premio en cada una de las dos situaciones.

Una primera intuición nos diría que la probabilidad de ambos sucesos es exactamente la misma, ya que, en la primera elección la probabilidad de acertar es de $\frac{1}{3}$, y una vez el presentador nos da a elegir entre dos puertas, ambas tienen probabilidad $\frac{1}{2}$, con lo cual la nueva alternativa unicamente aumenta la probabilidad de acertar. Pero vamos a prescindir de nuestra intuición y a analizar el problema rigurosamente.

Vamos a nombrar los sucesos como sigue:

$A_1$-Acertar intercambiando la puerta
$A_2$-Acertar no intercambiando la puerta
$B_1$-Acertar en la primera elección
$B_2$-No acertar en la primera elección

Está claro que $P(B_1)=\frac{1}{3}$ y que $P(B_2)=\frac{2}{3}$, vamos a calcular $A_1$ y $A_2$ usando el teorema de la probabilidad total:
$$P(A_1)=P(A_1|B_1)P(B_1)+P(A_1|B_2)P(B_2)$$
$P(A_1|B_1)=0$ ya que, como el concursante a acertado la primera vez, al cambiar de puerta falla, y $P(A_1|B_2)=1$ porque al cambiar de puerta elige la que contiene el premio, puesto que falló la primera vez, así obtenemos que,
$$P(A_1)=0\cdot \frac{1}{3}+1\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{3}$$
$P(A_2)$ se puede calcular por un razonamiento análogo, pero es más fácil percatarse del hecho de que, $$P(A_2)=1-P(\bar{A_2})=1-P(A_1)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$$

A pesar de que, en apareciencia, este resultado contraria nuestra intuición, tambien podemos llegar a el de manera intuitiva razonando como sigue: intercambiando la puerta únicamente acertaríamos si hubiesemos fallado en un primer momento, de lo contrario intecambiariamos el premio, según esto la probabilidad de obtener el premio con el cambio es la misma que de fallar al principio, es decir, $\frac{2}{3}$. De la misma manera observamos que la probabilidad de acertar sin cambiar es, obviamente, la misma que la de acertar en un primer momento, es decir, $\frac{1}{3}$