La importancia del Teorema de Lebesgue

Lo mas inmediato a cuestionarse, una vez conocido el concepto de función integrable (según la definición de Riemann), es, ¿qué funciones son integrables?. Nuestra intuición podria indicarnos que una mayor regularidad de la función (una menor cantidad de puntos de discontinuidad) puede ayudar a que esto ocurra. De hecho sabemos, sin usar el resultado de Lebesgue, que las funciones continuas son integrables, o incluso si la cantidad de puntos de discontinuidad es finito. Llegados a este punto podriamos vernos tentados a afirmar que una función es integrable si, y sólo si, el conjunto de puntos de discontinuidad es finito, pero como veremos en el siguiente ejemplo, hay funciones que no verifican esto:

Ejemplo: La función $f(x)=1$ si $x=\frac{1}{n}$ con $n\in \mathbb{N}$ y $f(x)=0$ en caso contrario $\forall x\in [0,1]$, es discontinua en un número infinito de puntos, (en todos los de la forma $\frac{1}{n}$ con $n\in \mathbb{N}$) pero observamos que es integrable.

En el ejemplo anterior hemos visto como el conjunto de puntos de discontinuidad no tiene por que ser finito, pero aún así, conocemos la cardinalidad de ese conjunto, así que podríamos cambiar nuestra caracterización de funciones integrables a aquellas cuyo conjunto de puntos de discontinuidad sea un conjunto numerable. Seguiriamos estando equivocados como se muestra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo: Definimos $f(x)=1$ si $x\in C$ y $f(x)=0$ si $x\notin C$, donde $C$ es el conjunto de Cantor. Esta función tiene discontinuidades en todos los puntos de $C$, conjunto no numerable, y sin embargo sigue siendo integrable.

Como se puede apreciar, dar con la cantidad exacta de puntos de discontinuidad que, como máximo, puede tener una función para ser integrable, no es tarea fácil. Eso fue lo que consiguió hacer Henri Léon Lebesgue quien, con sus aportaciones a la teoría de la medida, consiguio determinar el "tamaño" que debía tener el conjunto de puntos de discontinuidad, plasmandolo en el famoso teorema:

Teorema: Sea $R$ un rectángulo de $\mathbb{R}^n$ y $f:R\rightarrow \mathbb{R}$ una función, entonces, $f$ es Riemann-integrable si, y sólo si, el conjunto de puntos en los que $f$ es discontinua es de medida nula.

Donde, como bien sabemos, en el caso de $\mathbb{R}^n$, un conjunto $A$ es de medida nula si, para cada $\varepsilon >0$, existe una cantidad numerable de rectangulos $R_k$ con $k\in \mathbb{N}$ tales que $A\subset \bigcup_{k\in \mathbb{N}} R_k$ y además $\sum_{k\in \mathbb{N}}V(R_k)<\varepsilon$, donde $V(R_k)$ representa el volúmen del rectángulo $k$-ésimo.

*En breves añadire demostración a los ejemplos.