La cantidad de ceros de esta función tiene una gran repercusión en Teoría de Números, ya que sirve para mejorar las cotas de la función contadora de primos. Trabajar con esta función no es tarea sencilla, pero Riemann demostró que se podia prolongar análiticamente para todo número complejo, obteniendo así una función meromorfa que tiene un polo simple en $s=1$ de residuo $1$ y que tiene por ecuación funcional $$\zeta (s)=2^s\pi^{s-1}\sin(\frac{\pi s}{2})\Gamma(1-s)\zeta(1-s)$$observando esta última ecuación, nos damos cuenta en seguida de que $\zeta(-2k)=0\text{ }\forall k\in \mathbb{N}$, estos son los llamados 0 triviales de la función, Riemann trato de localizar el resto de ceros, y eso le llevo a la formulación de su hipótesis:
Cualquier cero no trivial de $\zeta(s)$ tiene como parte real $\frac{1}{2}$Y esta es la famosa afirmación de la cual no hay, hasta la fecha, demostración o contraejemplo.
Una pregunta: esta ecuación funcional no sirve para calcular la zeta de riemann cuando s es un entero positivo, ¿no? puesto que en ese caso la función gamma tendría una singularidad en ese punto, ¿no?
ResponderEliminarPor cierto, felicidades por el blog
Efectivamente, las ecuaciones funcionales únicamente son válidas en los puntos donde las funciones que las componen no tienen una singularidad. En este caso la función $\Gamma(1-s)$ tiene singularidades en todos los enteros positivos escepto en 1, pero justamente en este punto tiene una singularidad $\zeta(s)$, además estas funciones no tienen más singularidades por lo tanto la ecuación es cierta para cualquier otro valor complejo de $s$.
ResponderEliminarMuchas gracias por la felicitación y por participar en el blog, espero que no seas el único.
Un saludo
Nada, es un placer :)
EliminarUna última pregunta: ¿la ecuación también sirve para encontrar los ceros de la función zeta de Riemann? Lo digo porque si zeta(s)=0, entonces según la ecuación zeta(s+1)=0, puesto que zeta(1-(s+1))=zeta(s)=0.
Si, la ecuación sirve para encontrar los ceros, de echo, es la forma más sencilla de encontrar los ceros triviales.
EliminarEn el caso que expones tenemos que $\zeta(1-(s-1))=\zeta(-s)$ y no $\zeta(s)$, por lo tanto no podemos deducir que $\zeta(s+1)=0$.
Un saludo
Cierto, quería decir cuando s'=-s+1, luego zeta(1-s')=zeta(1-(-s+1))=zeta(s)=0
ResponderEliminarEn ese caso si es cierto, si $\zeta(1-s)$ es cero (y $s$ no es un entero positivo),entonces $\zeta(s)=0$
EliminarVale vale gracias. Por cierto, ¿como escribes en latex en los comentarios?
EliminarSaludos
Basta introducir el código entre dos símbolos del dolar.
Eliminar