La paradoja de Russel

Bertrand Russel (18/05/1872-02/02/1970) desmontó la teoría de conjuntos, tal y como fue postulada por Cantor y Frege, por medio de esta paradoja. Comenzó definiendo la noción de conjunto normal, esto es, aquél que no se contiene a sí mismo. Esto clasifica los conjuntos en dos tipos: los normales y los que no son normales, a los que denominó conjuntos singulares, el problema viene con la siguiente pregunta, ¿el conjunto de todos los conjuntos normales es normal o singular? Como veremos a continuación dicho "conjunto" no puede ser catalogado de esta manera.


Vamos a denominar $M$ el conjunto de todos los conjuntos normales, es decir,$$M=\{X:X\notin X\}$$es decir,dado $X$ conjunto se tiene que$$X\in M\Leftrightarrow X\notin X$$de esta manera la pregunta se traduce en, ¿$M$ verifica la ecuación anterior?, es decir, $$M\in M\Leftrightarrow M\notin M$$
Lo cual es, obviamente, una contradicción.

Esto creó la necesidad de redefinir las bases axiomáticas de la teoría de conjuntos, ya que había ciertos conjuntos "demasiado grandes" que daban problemas. Lejos de una solución impresionante se optó simplemente por dejar de considerar a esos supuestos "conjuntos" como tales con los nuevos axiomas ZFC.