Primero hay que hacer dos observaciones, la primera es que $f$ es continua, ya que la hemos definido como una integral indefinida, y la segunda es que, además, $f$ es derivable, ya que, en base a la primera observación, está definida como la integral indefinida de una función continua.
Derivando, podemos por la observación anterior, obtenemos la siguiente ecuación,$$f'(x)=f(x)$$además observamos que,$$f(0)=\int_0^0f(t)dt=0$$las dos igualdades anteriores definen un problema de valor inicial totalmente elemental cuya solución general es, integrando,$$f(x)=Ce^x$$y aplicando la condición inicial obtenemos que $C=0$ y por tanto la única* solución es $f(x)=0$
* La unicidad viene dada por el teorema de Picard-Lindelöf.
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