El teorema de Gauss-Lucas

Vamos a dar una demostración de este interesante resultado, comenzamos enunciándolo

Sea $P(z)$ un polinomio con coeficientes complejos, de una variable y no constante; entonces las raíces de $P'(z)$ se encuentran en la envolvente convexa de las de $P(z)$

En particular esto nos dice que si un polinomio real tiene todas sus raíces reales, las raíces de todas sus derivadas también son reales, o incluso que si las raíces de un polinomio real son todas positivas (respecto, negativas) lo mismo ocurre con las de todas sus derivadas (aclaro que con todas sus derivadas me refiero a, si el polinomio es de grado $n$, las $n$ primeras).

Vamos con la demostración:

Sea $P(z)$ un polinomio en las condiciones del enunciado, y sea $n$ su grado. El teorema fundamental del álgebra nos indica que dicho polinomio tiene $n$ raíces $z_1,\cdots,z_n\in \mathbb{C}$, por tanto, si $\alpha$ es el coeficiente principal, podemos escribir lo siguiente,
$$P(z)=\alpha \prod_{i=1}^nz_i$$
sea ahora $z\in \mathbb{C}$ tal que $P(z)\neq 0$, tenemos que,
$$\frac{P'(z)}{P(z)}=\sum_{i=1}^n\frac{1}{z-ai}$$
si $z\in\mathbb{C}$ es un cero de $P(z)$ y $P'(z)$ obviamente esta contenido en la envolvente convexa de los ceros de $P(z)$, por tanto vamos a suponer que anula únicamente a $P'(z)$,
$$0=\sum_{i=1}^n\frac{1}{z-ai}=\sum_{i=1}^n\frac{\bar{z}-\bar{a_i}}{|z-ai|^2}$$
o, lo que es lo mismo, llamando $k_i=\frac{1}{|z-ai|^2}$,
$$\bar{z}\sum_{i=1}^nk_i=\sum_{i=1}^nk_i\bar{a_i}\Leftrightarrow z\sum_{i=1}^nk_i=\sum_{i=1}^nk_ia_i\Leftrightarrow z=\sum_{i=1}^n\frac{k_i}{\sum_{i=1}^nk_i}a_i$$
es decir, $z$ es una combinación lineal convexa de las raíces de $P(z)$, por tanto pertenece a su envolvente convexa.


La demostración la he encontrado en Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%E2%80%93Lucas_theorem