La conjetura de Catalan

Quizás alguna vez os hayáis preguntado si hay potencias de números naturales que sean consecutivas, un ejemplo de esto sería $3^2=9$ y $2^3=8$ y, de echo, es el único. El matemático Eugène Charles Catalan (20/05/1814-14/02/1894) enunció esta conjetura, que podemos expresar de la siguiente forma:

No existen $a,b,n,m\in\mathbb{N}$ distintos de $3,2,2$ y $3$ verificando,$$a^n-b^m=1$$

A pesar de denominar a este resultado conjetura he afirmado que es cierto, en realidad dejo de ser una conjetura para pasar a ser un teorema, el teorema de Mihăilescu, en 2002 cuando Preda Mihăilescu presentó una demostración.

Si nos fijamos en,

$$a^n=1+b^m$$

vemos que presenta cierta similitud con el UTF. Una vez echa esta observación el siguiente paso inmediato es preguntarse que ocurrirá con las soluciones naturales de la siguiente ecuación, 

$$a^n=b^m+c^k$$

ya que de ella se desprendería tanto el UTF como la conjetura de Catalan puesto que son casos particulares, el primero si $n=m=k$ y el segundo si $c=1$. Pues bien, existe una conjetura, que no ha sido demostrada ni contradicha hasta la fecha, que trata sobre esto último, es la llamada conjetura de Fermat-Catalan y postula que dicha ecuación tiene un número finito de soluciones si  $a,b,c,n,m,k\in\mathbb{N}$ y además los tres primeros son coprimos y los tres últimos verifican que,

$$\frac{1}{n}+\frac{1}{m}+\frac{1}{k}<1$$

con una pequeña salvedad, ya que, según hemos visto, $1^k+2^3=3^2$ para cualquier $k\in\mathbb{N}$, pero esta familia de soluciones se contabiliza como una.

Quizás no haya sido del todo fiel a la realidad diciendo que la conjetura de Fermat-Catalan no está demostrada, ya que la conjetura ABC implicaría su veracidad y actualmente se esta revisando una posible demostración de tal conjetura que, según los expertos, tiene muchas papeletas para ser correcta.