Hallar todas las funciones $f$ tales que $$f(x)=\int_{0}^xf(t)dt$$
Yo diría que solamente hay una:f(x) = 0El motivo es que, derivando, obtenemos:f'(x) = f(x)ecuación diferencial cuya familia de soluciones es de la forma:f(x) = f0·e^xHace falta aplicar condiciones de contorno, ya que la derivada destruye información. La condición a aplicar es:f(0) = 0Lo cuál obliga f0 = 0.
Yo creo que la solución es la siguiente:$f(x)=\begin{Bmatrix} 0 & \mbox{ si }& x \in{A}}\\c e^x & \mbox{si}& x \not\in{A}\end{matrix}$Siendo $A={0} \cup{} S$, para cualquier S. De esta forma, $f(0)=0$, y $f'(x)=f(x)$.
Perdón, he cometido un error en el código LaTeX. La función es:$f(x)=\begin{Bmatrix} 0 & \mbox{ si }& x \in{A}\\c e^x & \mbox{si}& x \not\in{A}\end{matrix}$Y $A=\{ 0 \} \cup{} S$, para cualquier S.
Perdón otra vez, no consigo poner bien la función. A ver esta vez:$f(x)=\begin{Bmatrix} 0 & \mbox{ si }& x \in{A}\\c e^x & \mbox{si}& x \not\in{A}\end{Bmatrix}$
Con $A=\{ 0 \} \cup{} S$, para cualquier conjunto $S$.
Te falta finalizar el argumento, la solución que describes no es continua para cualquier $c$, de echo, solamente es continua para uno
Si queréis introducir fórmulas, basta escribir el código LaTeX entre dos símbolos del dolar
Yo diría que solamente hay una:
ResponderEliminarf(x) = 0
El motivo es que, derivando, obtenemos:
f'(x) = f(x)
ecuación diferencial cuya familia de soluciones es de la forma:
f(x) = f0·e^x
Hace falta aplicar condiciones de contorno, ya que la derivada destruye información. La condición a aplicar es:
f(0) = 0
Lo cuál obliga f0 = 0.
Yo creo que la solución es la siguiente:
ResponderEliminar$f(x)=\begin{Bmatrix} 0 & \mbox{ si }& x \in{A}}\\c e^x & \mbox{si}& x \not\in{A}\end{matrix}$
Siendo $A={0} \cup{} S$, para cualquier S. De esta forma, $f(0)=0$, y $f'(x)=f(x)$.
Perdón, he cometido un error en el código LaTeX. La función es:
ResponderEliminar$f(x)=\begin{Bmatrix} 0 & \mbox{ si }& x \in{A}\\c e^x & \mbox{si}& x \not\in{A}\end{matrix}$
Y $A=\{ 0 \} \cup{} S$, para cualquier S.
Perdón otra vez, no consigo poner bien la función. A ver esta vez:
ResponderEliminar$f(x)=\begin{Bmatrix} 0 & \mbox{ si }& x \in{A}\\c e^x & \mbox{si}& x \not\in{A}\end{Bmatrix}$
Con $A=\{ 0 \} \cup{} S$, para cualquier conjunto $S$.
ResponderEliminarTe falta finalizar el argumento, la solución que describes no es continua para cualquier $c$, de echo, solamente es continua para uno
ResponderEliminar