martes, 20 de noviembre de 2012

Problema número diez


Sean $a$, $b$ y $c$ tres números reales con $a+b+c=0$, ¿cuánto vale $a^3+b^3+c^3$?

3 comentarios:

  1. Tomamos como punto de partida

    (a + b + c)^3 = 0

    desarrollando:

    a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3+3 a^2 c+6 a b c+3 b^2 c+3 a c^2+3 b c^2+c^3 = 0

    de dónde se despeja:

    a^3 + b^3 + c^3 = -(3 a^2 b+3 a b^2+3 a^2 c+6 a b c+3 b^2 c+3 a c^2+3 b c^2)

    que puede expresarse más compactamente cómo:

    -3 (a+b) (a+c) (b+c)

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  2. Leonardo Javier Ortega. ljo6174@yahoo.com.mx
    Cono a+b+c=0 entonces c=-a-b
    a^3+b^3+c^3 = a^3+b^3+(-a-b)^3 =
    = a^3+b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3 =
    = -3a^2b-3ab^2
    = -3ab(a+b)

    Provecho la ocasión para proponerles el siguiente problema. Pienso que quíen logre resolverlo o demostrar que no tiene solución, merece nuestros respetos y nuestro sincero apoyo.
    Encontrar 3 sumas iguales con números consecutivos a partir del uno.
    Por ejemplo:
    1+2+...+14 = 15+16+...+20 = 21+22+...
    Aquí sólo se satisfacen las dos primeras sumas. Necesitamos un ejemplo donde se cumplan las 3 sumas.
    Saludos.

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