Consecuencia de la Hipótesis de Riemann

En este post describíamos brevemente en que consiste la Hipótesis de Riemann, en concreto decíamos que esta hipótesis, en caso de ser cierta, tendría una enorme repercusión en Teoría de Números, ya que implicaría una mejora en la cota actual de la función contadora de primos. En realidad, no es solo que la Hipótesis de Riemann implique este resultado, si no que son equivalentes.

Hipótesis de Riemann generalizada

Hace unos días tratamos de explicar en que consistia la Hipótesis de Riemann, ahora vamos a enunciar una generalización de la hipótesis.

En este caso en vez de la función zeta de Riemann, tratamos con las L-funciones de Dirichlet, las funciones del tipo:$$L(s,\chi)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}$$

Definición de la exponencial

Todos sabemos como se define la exponencial $e^x$ cuando $x$ es un número natural, basta multiplicar $e$ por si mismo $x$ veces, incluso podemos extender esta definición cuando $x\in \mathbb{Z}$, haciendo $e^0=1$ y $e^{-x}=(e^{-1})^x$ cuando $x\in \mathbb{N}$.

Hipótesis de Riemann

Este es uno de los grandes problemas sin resolver hasta la fecha, vamos a explicar con todo detalle en que consiste esta conjetura. Para empezar tenemos que definir la famosa función zeta de Riemann,$$\zeta (s)=\sum_{n=1}^\infty n^{-s}\text{ con }s\in \mathbb{C}$$

Cardinalidad de $\mathbb{R}^n$

¿Qué cantidad de elementos hay $\mathbb{R}^n$ en relación con $\mathbb{R}$?, como todos sabemos la respuesta es que hay exactamente la misma cantidad de elementos, es decir, estos dos conjuntos tienen la misma cardinalidad para cualquier $n\in \mathbb{N}$.

Teorema de Reordenamiento, de Riemann

Vamos a ver el que posiblemente sea el primer resultado realmente impactante que se le imparte a un estudiante de Matemáticas, comenzamos dando el enunciado:

Teorema: Sean $\alpha,\beta \in \bar{\mathbb{R}}$ con $\alpha \leq \beta$, y $\sum_{k=1}^\infty a_k$ una serie condicionalmente convergente, es decir, es convergente pero tiene algún reordenamiento que no lo  es. Entonces existe un reordenamiento $\varphi$ de la serie tal que los límites inferior y superior de las sucesión de sumas parciales son $\alpha$ y $\beta$ respectivamente.

La importancia del Teorema de Lebesgue

Lo mas inmediato a cuestionarse, una vez conocido el concepto de función integrable (según la definición de Riemann), es, ¿qué funciones son integrables?. Nuestra intuición podria indicarnos que una mayor regularidad de la función (una menor cantidad de puntos de discontinuidad) puede ayudar a que esto ocurra. De hecho sabemos, sin usar el resultado de Lebesgue, que las funciones continuas son integrables, o incluso si la cantidad de puntos de discontinuidad es finito. Llegados a este punto podriamos vernos tentados a afirmar que una función es integrable si, y sólo si, el conjunto de puntos de discontinuidad es finito, pero como veremos en el siguiente ejemplo, hay funciones que no verifican esto:

Reordenamiento de una sucesión convergente

Veamos primero que entendemos por reordenación:

Definición: Dada una sucesión $\{X_n\}$ en un espacio métrico $(A,d)$ llamamos reordenación de  $\{X_n\}$ a cualquier biyección $\phi:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$.  Denotamos la sucesión reordenada por $\{X_{\phi(n)}\}$