Obviamente, en general, la respuesta es no, basta observar el siguiente ejemplo:
Ejemplo: Dados $x_1,x_2\in \mathbb{R}^n$ si llamamos $r=\frac{d(x_1, x_2)}{2}$ las bolas $B(x_1,r)$ y $B(x_2,r)$ son conjuntos conexos, sin embargo su unión no lo es ya que ellas mismas forman una separación.
