Problema número nueve

Llamamos cónica a la figura geométrica en el plano dada por los puntos $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ tales que,$$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$$para ciertos $a,b,c,d,e,f\in\mathbb{R}$ con $(a,b,c)\neq (0,0,0)$. Demostrar que por cada 5 puntos no alineados pasa, al menos, una cónica. 

Problema número ocho

Sea $f(x)$ una función tal que $f(x)+2f(-x)=\sin x$, ¿cual es la imagen de $\frac{\pi}{2}$ por $f$?

Solución al problema número siete

El dato del problema es que los números $a,b$ y $c$ forman una progresión aritmética, es decir,
$$b-a=c-b\Rightarrow b-a-(c-b)=0$$
vamos a comprobar que ocurre lo mismo con los otros tres términos,
$$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}-\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}-(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}})=$$
$$=\frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}-\sqrt{c}}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}-\frac{\sqrt{a}+\sqrt{c}-\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{c})}=$$
$$=\frac{(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})-(\sqrt{c}-\sqrt{b})(\sqrt{c}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=$$
$$=\frac{b-a-(c-b)}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=0$$

Problema número siete

Demostrar que si los números $a, b$ y $c$ forman una progresión aritmética, entonces los números $$\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}, \frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\text{ y }\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$$también forman una progresión aritmética.

Solución al problema número seis

Vamos a comenzar estudiando el denominador, tenemos que,
$$|\sin x+\cos x|=|\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi}{4})|\leq \sqrt{2}$$
por tanto la desigualdad se reduce a,
$$\sin^2x>\frac{1}{4}$$
o, lo que es lo mismo,
$$|\sin x|>\frac{1}{2}$$
por tanto se obtiene la familia de intervalos,
$$(\frac{\pi}{6}+k\pi,\frac{5\pi}{6}+k\pi)\text{ con }k\in \mathbb{Z}$$

Problema número seis

Hallar los $x\in \mathbb{R}$ para los que se verifica la siguiente desigualdad:$$\frac{\sin^2(x)-\frac{1}{4}}{\sqrt{3}-(\sin x +\cos x)}>0$$ 

Solución al problema número cinco

Solución enviada por @ezkaleno.

Expresamos cada término de la solución de la forma,$$a_n=\frac{4}{9}(10^{2n}-10^n)+\frac{8}{9}(10^n-10)+9$$y operando en la expresión anterior obtenemos que,$$\frac{1}{9}(2^{n+1}5^n+1)^2$$que es cuadrado perfecto.

Problema número cinco

Probar que cada término de la sucesión$$49,4489,444889,\cdots$$es el cuadrado de algún número natural. 

Nótese que cada término de la sucesión se obtiene añadiendo los dígitos $48$ entre las cifras del elemento anterior.

Solución al problema número cuatro

Primero hay que hacer dos observaciones, la primera es que $f$ es continua, ya que la hemos definido como una integral indefinida, y la segunda es que, además, $f$ es derivable, ya que, en base a la primera observación, está definida como la integral indefinida de una función continua.

Problema número cuatro

Hallar todas las funciones $f$ tales que $$f(x)=\int_{0}^xf(t)dt$$

Solución al problema número tres

Definimos la función,$$g(x)=\frac{f(x)}{x}\text{ si }x\neq 0$$como hemos definido $g$ en todo $\mathbb{R}$ menos el 0, si queremos que sea continua en dicho punto tendremos que definir$$g(0)=\lim_{x\rightarrow 0}g(x)$$

Problema número tres

Sea $f$ una función real de variable real derivable en 0, y tal que $f(0)=0$. Demostrar que existe una función $g$ continua en 0 y tal que $f(x)=g(x)x$

Problema número dos

Hallar el siguiente límite$$\lim_{n\rightarrow \infty}a^n(n-\sum_{k=2}^n\zeta(k))\text{ con }a>0$$

Animaos a comentar, no hace falta que sea una solución completa, quizás una idea baste para que a otro se le ocurra. ¡Suerte!

Solución al problema número uno

Veamos que efectivamente la matriz con elemento genérico $(i,j)$ el número $(-1)^{i+j}\binom{i-1}{j-1}$ si $j\leq i$ y $0$ en caso contrario, es la inversa de la matriz del enunciado.
Vamos a calcular el elemento genérico $(i,j)$ de la matriz producto, en caso de que $i\geq j$, esto es,$$\sum_{k=1}^n(-1)^{k+j}\binom{k-1}{j-1}\binom{i-1}{k-1}$$

Problema número uno

Calcúlese la inversa de la matriz cuadrada de orden $n+1$, cuyo elemento $(i,j)$ es el número combinatorio $\binom{i-1}{j-1}$ si $j\leq i$ y $0$ si $j>i$