Consecuencia de la Hipótesis de Riemann

En este post describíamos brevemente en que consiste la Hipótesis de Riemann, en concreto decíamos que esta hipótesis, en caso de ser cierta, tendría una enorme repercusión en Teoría de Números, ya que implicaría una mejora en la cota actual de la función contadora de primos. En realidad, no es solo que la Hipótesis de Riemann implique este resultado, si no que son equivalentes.

Demostración de la conjetura ABC

Se ha presentado una posible demostración a este problema por Shinichi Mochizuki y, al parecer, es para tomarsela en serio, ya que la reputación, concretamente en teoría de números, que precede a este hombre, parece indicar que probablemente la demostación sea correcta.

La conjetura de Goldbach

Christian Goldbach (18/03/1690-20/11/1764) formuló, en 1742, su famósa conjetura:

Todo número par mayor que dos se puede expresar como la suma de dos primos.

En realidad el enunciado anterior es la llamada conjetura fuerte de Goldbach, y es una equivalencia de la conjetura original que Goldbach envió en una carta a Euler, quien halló esta equivalencia. El enunciado original fue el siguiente:

Todo número natural mayor que cinco puede expresarse como la suma de tres números primos.

El último teorema de Fermat

Veamos el enunciado de este famoso teorema:

Teorema: Dado un número natural $n>2$, no existen enteros $a,b\text{ y }c$ tales que:$$a^n+b^n=c^n$$

Hipótesis de Riemann

Este es uno de los grandes problemas sin resolver hasta la fecha, vamos a explicar con todo detalle en que consiste esta conjetura. Para empezar tenemos que definir la famosa función zeta de Riemann,$$\zeta (s)=\sum_{n=1}^\infty n^{-s}\text{ con }s\in \mathbb{C}$$