El dato del problema es que los números $a,b$ y $c$ forman una progresión aritmética, es decir,
$$b-a=c-b\Rightarrow b-a-(c-b)=0$$
vamos a comprobar que ocurre lo mismo con los otros tres términos,
$$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}-\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}-(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}})=$$
$$=\frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}-\sqrt{c}}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})}-\frac{\sqrt{a}+\sqrt{c}-\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{c})}=$$
$$=\frac{(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b}+\sqrt{a})-(\sqrt{c}-\sqrt{b})(\sqrt{c}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=$$
$$=\frac{b-a-(c-b)}{(\sqrt{a}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=0$$
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